多元函数的极值公式如下：

设 $f(x_1,x_2,cdots,x_n)$ 在点 $(a_1,a_2,cdots,a_n)$ 处有极值，且 $f$ 在 $(a_1,a_2,cdots,a_n)$ 的邻域内具有一阶和二阶连续偏导数，则有：

1. 如果 $frac{partial f}{partial x_i}(a_1,a_2,cdots,a_n)=0$，则 $a_1,a_2,cdots,a_n$ 可能是 $f$ 的极值点；

2. 如果 $frac{partial^2 f}{partial x_i^2}(a_1,a_2,cdots,a_n)>0$，则 $f(a_1,a_2,cdots,a_n)$ 是 $f$ 的极小值；

3. 如果 $frac{partial^2 f}{partial x_i^2}(a_1,a_2,cdots,a_n)<0$，则 $f(a_1,a_2,cdots,a_n)$ 是 $f$ 的极大值；

4. 如果 $frac{partial^2 f}{partial x_i^2}(a_1,a_2,cdots,a_n)=0$，则不能确定 $f(a_1,a_2,cdots,a_n)$ 是否是 $f$ 的极值。